Opi laskemaan keskiarvo
Keskiarvo on yksi käytetyimmistä matematiikan ja tilastotieteen käsitteistä. Sitä tarvitaan esimerkiksi kouluarvosanoissa, urheilutilastoissa, palkka- ja hintavertailuissa sekä lähes missä tahansa tilanteessa, jossa halutaan tiivistää joukko lukuja yhdeksi kuvaavaksi luvuksi. Tämän oppaan avulla opit laskemaan keskiarvon oikein ja ymmärrät, milloin kannattaa käyttää painotettua keskiarvoa ja milloin puolestaan muita tilastollisia mittalukuja.
Mitä keskiarvo tarkoittaa?
Puhekielessä keskiarvolla tarkoitetaan yleensä aritmeettista keskiarvoa, joka saadaan laskemalla kaikki lukujoukon luvut yhteen ja jakamalla summa lukujen määrällä. Keskiarvo kuvaa lukujoukon "tyypillistä" arvoa.
Esimerkiksi lukujen 2, 4, 6, 8 ja 10 on keskiarvo 6, vaikka mikään yksittäinen esitetyistä luvuista ei ole tasan 6. Keskiarvo tasoittaa siis lukujen vaihtelun yhdeksi lukuja edustavaksi arvoksi.
Keskiarvon peruskaava
Aritmeettisen keskiarvon kaava
Keskiarvo = (lukujen summa) ÷ (lukujen määrä)
Esimerkki
Lasketaan lukujen 4, 8, 6, 10 ja 2 keskiarvo.
Lasketaan ensin summa:
4 + 8 + 6 + 10 + 2 = 30
Lukuja on yhteensä 5 kappaletta, joten jaetaan summa viidellä:
30 ÷ 5 = 6
Vastaus: lukujen keskiarvo on 6.
Miten keskiarvo lasketaan vaihe vaiheelta?
- Kirjoita ylös kaikki luvut, joista keskiarvo lasketaan.
- Laske luvut yhteen, jolloin saat summan.
- Laske, montako lukua joukossa on yhteensä.
- Jaa summa lukumäärällä. Tulos on lukujoukon keskiarvo.
Tämä sama menetelmä toimii riippumatta siitä, onko lukuja viisi vai viisikymmentä.
Painotettu keskiarvo
Tavallinen keskiarvo olettaa, että jokainen luku painaa yhtä paljon. Aina näin ei kuitenkaan ole. Esimerkiksi koulussa laajempi kurssi voi vaikuttaa keskiarvoon enemmän kuin toinen lyhyempi kurssi. Tällöin käytetään painotettua keskiarvoa.
Kaava
Painotettu keskiarvo = (luku₁ × paino₁ + luku₂ × paino₂ + …) ÷ (paino₁ + paino₂ + …)
Esimerkki: kurssiarvosanojen painotettu keskiarvo
Oppilaalla on kolme kurssia, joiden arvosanat ja laajuudet (opintopisteet) ovat seuraavanlaiset:
- Kurssi A: arvosana 8, laajuus 2 op
- Kurssi B: arvosana 9, laajuus 1 op
- Kurssi C: arvosana 7, laajuus 3 op
Lasketaan ensin painotettu summa:
(8 × 2) + (9 × 1) + (7 × 3)
= 16 + 9 + 21
= 46
Lasketaan painojen summa:
2 + 1 + 3 = 6
Jaetaan painotettu summa painojen summalla:
46 ÷ 6 ≈ 7,67
Vastaus: painotettu keskiarvo on noin 7,67.
Huomaa, että tämä poikkeaa tavallisesta keskiarvosta (8 + 9 + 7) ÷ 3 = 8, koska laajempi ja heikomman arvosanan kurssi C painaa lopputuloksessa enemmän.
Keskiarvon, mediaanin ja moodin erot
Keskiarvo ei aina anna parasta kuvaa aineistosta, varsinkaan jos joukossa on poikkeavia arvoja. Siksi rinnalla käytetään usein myös mediaania ja moodia.
- Keskiarvo — lukujen summa jaettuna lukumäärällä.
- Mediaani — suuruusjärjestykseen asetettujen lukujen keskimmäinen arvo. Jos lukuja on parillinen määrä, mediaani on kahden keskimmäisen luvun keskiarvo.
- Moodi — aineiston useimmin esiintyvä arvo. Moodeja voi olla useita. Toisaalta voi olla aineistoja, joissa ei ole moodia.
Esimerkki: miksi keskiarvo voi olla harhaanjohtava
Tarkastellaan viiden henkilön kuukausipalkkoja: 2 500 €, 2 600 €, 2 700 €, 2 800 € ja 15 000 €.
Keskiarvo:
(2 500 + 2 600 + 2 700 + 2 800 + 15 000) ÷ 5 = 5 120 €
Mediaani (keskimmäinen luku suuruusjärjestyksessä 2 500, 2 600, 2 700, 2 800, 15 000):
2 700 €
Yksi poikkeuksellisen suuri palkka nostaa keskiarvon huomattavasti korkeammaksi kuin mitä suurin osa joukosta todellisuudessa ansaitsee. Tässä tapauksessa mediaani kuvaa tyypillistä palkkaa keskiarvoa paremmin.
Keskiarvon pyöristäminen
Keskiarvo ei aina mene tasan, jolloin tulos pitää pyöristää. Arkikäytössä ja koulussa keskiarvo pyöristetään yleensä kahden desimaalin tarkkuuteen.
Pyöristyssääntö on tuttu tavallisesta pyöristämisestä:
- jos kolmas desimaali on 0–4, pyöristetään alaspäin
- jos kolmas desimaali on 5–9, pyöristetään ylöspäin
Esimerkiksi luvuista 7, 8 ja 8 laskettu keskiarvo on 23 ÷ 3 = 7,6666…, joka pyöristyy kahden desimaalin tarkkuudessa muotoon 7,67.
Yleisimmät virheet keskiarvon laskemisessa
Väärä lukumäärä nimittäjässä
Yleisin virhe on jakaa summa väärällä luvulla. Tämä voi käydä esimerkiksi, jos unohtaa laskea mukaan jonkin arvoista tai laskemalla saman arvon kahteen kertaan mukaan lukumäärään.
Nollien jättäminen pois laskusta
Jos aineistoon kuuluu arvo 0, se pitää laskea mukaan sekä summaan että lukumäärään. Nollaa ei saa jättää pois, vaikka se ei summaa kasvatakaan.
Painojen unohtaminen painotetussa keskiarvossa
Jos luvuilla on eri painoarvo, tavallisen keskiarvon kaavan käyttäminen antaa väärän tuloksen. Tarkista aina, tuleeko lukujen kanssa käyttää painotettua kaavaa.
Poikkeavien arvojen vaikutuksen huomiotta jättäminen
Yksittäinen hyvin suuri tai pieni arvo voi vääristää keskiarvon voimakkaasti. Tällöin kannattaa tarkastella myös mediaania.
Yhteenveto
Keskiarvon laskeminen perustuu yksinkertaiseen periaatteeseen: lasketaan luvut yhteen ja jaetaan lukujen summa lukujen lukumäärällä. Kun luvuilla on eri painoarvo, käytetään painotettua keskiarvoa. Muista myös, että keskiarvo ei aina kerro koko totuutta aineistosta. Mediaani ja moodi täydentävät kuvaa erityisesti silloin, kun joukossa on poikkeavia arvoja.
Muista erityisesti nämä:
- keskiarvo = summa ÷ lukumäärä
- painotetussa keskiarvossa jokainen luku kerrotaan omalla painollaan
- poikkeavat arvot voivat vääristää keskiarvoa, jolloin mediaani kuvaa aineistoa usein paremmin
- keskiarvo pyöristetään arkielämässä yleensä kahden desimaalin tarkkuuteen
👉 Kokeile keskiarvolaskuria
Jos haluat tarkistaa laskun nopeasti tai laskea keskiarvon isommalle lukujoukolle, voit käyttää keskiarvo-, mediaani- ja moodi-laskuria. Syötä luvut kenttään välilyönnillä erotettuna, niin laskuri laskee keskiarvon, mediaanin ja moodin puolestasi.
Voit myös harjoitella laskutoimituksia esittämiemme kaavojen avulla ja tarkistaa välivaiheet normaalilla laskimella.